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\thesistitle{Etude d’un produit d’assurance paramétrique contre le risque de pluie torrentielle en Jamaïque}
\title{Etude d'un produit d'assurance paramétrique contre le risque de pluie torrentielle en Jamaïque}
\author{Cuong NGUYEN and Florent RITLENG}
\date{Mai 2014}

\begin{document}
%\begin{titlepage}
%\begin{center}
%\textsc{\Large Note de synthèse}\\[0.5cm] % Thesis type
%\HRule \\[0.4cm] % Horizontal line
%{\huge \bfseries \ttitle}\\[0.4cm] % Thesis title
%\HRule \\[1.5cm]
%\end{center}
%\end{titlepage}
\maketitle

\noindent \textbf{Mots-clés} : Pluies torrentielles, CCRIF, Théorie des Valeurs Extrêmes, \textit{Generalized Pareto Distribution}, Chaînes de Markov, Copules, Prime pure, Indice paramétrique.\\

Les catastrophes naturelles présentent un risque particulièrement important à la fois pour les habitants et les économies de l’ensemble des pays des Caraïbes. Les pertes engendrées par ces événements rares et intenses affectent l’économie de ces pays et peuvent atteindre des montants considérables (8\% du PIB de la Jamaïque pour les dégâts causés par l’ouragan Ivan en 2004). En outre, les pays touchés n’ont parfois pas les ressources suffisantes pour faire face à ce type d’intempérie. De fait, l’enjeu le plus important consiste à trouver les besoins en liquidité à court terme nécessaires au maintien en état des infrastructures et des services publics, en attendant que des ressources supplémentaires soient disponibles pour financer des besoins de reconstruction et d’adaptation à plus long terme. C’est dans ce contexte que 16 Etats des Caraïbes, en association avec la Banque Mondiale, ont pris l’initiative en 2007 de créer un système commun d’assurance à but non lucratif. Ce système, le \textbf{Caribbean Catastrophe Risk Insurance Facility} (CCRIF), est le premier pool d’assurance multi-pays créé dans le monde, et c’est aussi le premier mécanisme d’assurance qui adosse un mécanisme de couverture paramétrique. Par rapport à une assurance classique, les indemnités ne sont pas reversées selon les dégâts réels constatés au sol mais en fonction d’un indice paramétrique facilement mesurable lors d’un événement extrême (ex : vitesse du vent, pic de précipitation). \\ 

\noindent Le mécanisme initial du CCRIF ne couvre cependant pas un type d'événement particulièrement fréquent dans les Caraïbes : les pluies torrentielles. Ceci a conduit le CCRIF à fournir une couverture pour le risque d’inondation. Depuis Juin 2013, le CCRIF propose un contrat d’assurance appelé \textbf{CCRIF/Swiss Re Excess Rainfall} (XSR) qui offre une couverture des dommages dus à des pluies torrentielles en Jamaïque. Ce produit repose sur l’estimation d’un \textbf{indice paramétrique} reflétant l’extrême intensité des pluies torrentielles sur une courte période dans plusieurs zones géographiques du pays. Il est donc essentiel de comprendre comment est construit un tel indice afin d’identifier les facteurs de risque influençant la prime du produit. La problématique principale de nos travaux est de modéliser la dynamique de cet indice dans le but d’établir un profil de risque du pays souscripteur. L’enjeu est de pouvoir donner un prix au contrat XSR.

\section*{Méthodologie suivie}

Dans un premier temps, nous faisons un état des lieux des méthodologies utilisées dans la mise en place du produit XSR. Nous utilisons l’information publique du CCRIF pour construire un indice paramétrique agrégeant l’information fournie par les précipitations de plusieurs zones géographiques de la Jamaïque. En d’autres termes, il est possible de définir un indice paramétrique national qui est la somme d’indices locaux. Des hypothèses supplémentaires sont nécessaires pour calculer un indice sur un historique de 15 ans de données. \\

\noindent Une fois que les étapes de construction de l’indice sont définies, nous tentons de modéliser statistiquement son évolution. Nous avons adopté une démarche progressive en partant d’une modélisation simple des pluies journalières vers une modélisation plus complexe des pluies extrêmes. Plusieurs outils statistiques ont été utilisés dont notamment les \textbf{chaînes de Markov}, la \textbf{théorie des valeurs extrêmes} et les \textbf{copules}.\\

\noindent La modélisation permet dans un dernier temps de calculer une prime annuelle du produit XSR par la méthode de Monte-Carlo. Nous illustrons le risque de dépendance géographique des pluies extrêmes en comparant des primes locales indépendantes avec une prime nationale. Enfin, nous tentons d’analyser prospectivement le produit en calculant des \textbf{sensibilités} d’hypothèses et en introduisant les concepts de \textbf{transfert de risque}.

\section*{Produit XSR}

Le modèle XSR du CCRIF et de Swiss Re se base sur les données de la mission de mesure des précipitations tropicales, initiative de recherche entreprise par la NASA et par l’agence d’exploration spatiale Japonaise. Il fournit une estimation satellitaire précise et en temps réel des pluies journalières en Jamaïque divisée en 28 cellules d’observations. Un taux d’exposition au risque, qui traduit la propension de la zone à être impactée économiquement lors de fortes pluies, est fourni sur les 28 cellules. Le découpage de la Jamaïque est représenté dans la figure \ref{fig:Repartition 28 cellules}. 
\begin{figure}[htbp]
     \centering
       \includegraphics[scale=0.45,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/Cellules_TRMM_Jamaica.png}
       \rule{35em}{0.5pt}
     \caption[Répartition des 28 cellules géographiques sur la Jamaïque]{Répartition des 28 cellules géographiques sur la Jamaïque}
     \label{fig:Repartition 28 cellules}
\end{figure}
\\

\noindent Dans le contrat XSR, un évènement extrême ainsi que son indice paramétrique associé sont définis selon les 4 étapes suivantes : \\
\begin{enumerate}[1) ]
\item Sur chacune des 28 cellules géographiques de la Jamaïque, le cumul des 5 derniers jours de pluie est calculé jour après jour. Un événement local est déclenché lorsque ces précipitations agrégées sur \textbf{5 jours}\footnote{Les précipitations agrégées 5 jours sont définies comme la somme des précipitations journalières sur les 5 jours antérieurs au jour de mesure.} dépassent \textbf{250 mm}. L’événement se termine lorsque le cumul des pluies sur 5 jours redescend en-dessous de ce seuil (cf. figure  \ref{fig:XSR step 2}). \\
\begin{figure}[htbp]
   \centering
     \includegraphics[scale=0.6,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/XSR_step2.png}
     %\rule{35em}{0.5pt}
   \caption[Détection des événements extrêmes locaux]{Détection des événements extrêmes locaux}
   \label{fig:XSR step 2}
\end{figure}
\item Sur chacun des événements locaux détectés, seul le pic des pluies agrégées sur 5 jours est utilisé pour calculer un indice de perte \textit{via} une courbe de vulnérabilité qui relie la quantité de pluie à un taux de vulnérabilité. \footnote{L’information sur cette fonction de vulnérabilité ne nous a pas été communiquée. Nous avons défini une fonction de vulnérabilité de la forme : $\textit{vulnérabilité }(pic)=C \left(\mathbb{1}_{250<pic<B} \times \frac{pic-250}{B-250}+\mathbb{1}_{pic>B}\right)$ où B et C sont des paramètres ajustables. Le pic est en mm.} \\
\item Le pourcentage d’exposition $\textit{w}_i$ de la cellule géographique est appliqué au taux de vulnérabilité de chaque événement local afin de donner l’indice de perte de la cellule sur l’événement local. \\
\item Pour calculer l’indice de perte national, les 28 indices de pertes locaux sont additionnés jour par jour. Au niveau national, un événement est défini comme une période continue où l’indice de perte local est positif dans au moins une des 28 cellules.  \\
\end{enumerate}
\noindent L'indice national est défini comme suit : 
\begin{align*}
I_{\textit{national}} = \sum_{i}^{28} I_{\textit{cellule i}} = \sum_{i}^{28} w_i \times \textit{vulnérabilité } ( \textnormal{pic}_\textit{cellule i})
\end{align*}
A chaque événement, l’indemnité reversée au pays est calculée en fonction de l'indice national \textit{via} la fonction de paiement :
\begin{equation*}
\textit{Paiement} =
\left\{
\begin{array}{ll}
0  & \textit{si } I< \textit{Attachment}\\\\
\frac{I-\textit{Attachment}}{\textit{Exhaustion}-\textit{Attachment}}          \times \textit{Coverage Limit}  & \textit{si }\textit{Attachment} <I< \textit{Exhaustion} \\ \\
\textit{Coverage Limit} & \textit{si } \textit{Exhaustion}<I
\end{array}
\right.
\end{equation*}

\noindent Sur les 15 dernières années, nous avons recensé 200 événements locaux agrégés en 29 événements nationaux.

\section*{Modélisation statistique de l'indice paramétrique}
Pour tarifier correctement le contrat XSR, il est nécessaire de comprendre le comportement des pluies. Nous avons cherché à modéliser au plus juste les précipitations afin d’anticiper les indemnités reversées probables et donc la prime du contrat.  
\paragraph{Modélisation de la  pluie journalière} Le niveau de modélisation de l’indice local « le plus fin » repose sur la modélisation des précipitations journalières. Nous avons décidé de nous concentrer sur deux approches : les processus de Bartlett-Lewis et la modélisation par Chaîne de Markov. Les deux modèles combinent un processus d’occurrence des jours de pluie avec un modèle d’intensité de pluie.\\

\noindent Dans le modèle de Bartlett-Lewis, les dates de début d'épisode pluvieux suivent un processus de Poisson et leurs durées suivent une loi exponentielle. Dans nos donnés, les temps d'inter-arrivées des épisodes pluvieux ne suivent pas des lois exponentielles et leurs durées comptées en jours sont difficilement modélisables par des loi continues. \\
%\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
%%\centering
%%\caption[Pluie journalière en Jullet au nord Kingston]{Pluie journalière en Jullet au nord Kingston}
%\caption{}
%    \includegraphics[width=6.5cm]{Figures/Chapter2/pluie_jullet_nord_kingston.pdf}
%  \label{fig: Weibull-Kingston}
%\end{wrapfigure} 

\noindent Pour remédier à cette limite, nous modélisons le processus d'occurrence des pluies par des chaînes de Markov à deux états sec et humide. Après avoir testé plusieurs lois pour les intensités, nous avons retenu la loi de Weibull pour calibrer les précipitations journalières. (cf. figure \ref{fig: Weibull-Kingston}). En simulant les pluies journalières selon ce processus, le nombre d'événements extrêmes est trois fois inférieur au nombre d'événements historiques. De plus, le niveau des pics des événements extrêmes est plus bas que le niveau historique. En conséquence, ce modèle sous-estime les événements extrêmes ce qui nous incite à modéliser directement les dépassements de seuil. 

\begin{figure}[htbp]
\centering
%\caption[Pluie journalière en Jullet au nord Kingston]{Pluie journalière en Jullet au nord Kingston}
    \includegraphics[width=6.5cm]{Figures/Chapter2/pluie_jullet_nord_kingston.pdf}
  \caption{Calibration des pluies journalières par la loi de Weibull}
  \label{fig: Weibull-Kingston}
\end{figure} 

\paragraph{Modélisation des dépassements de seuil} Le contrat XSR se déclenche uniquement quand les pluies agrégées 5 jours dépassent un certain seuil. Nous avons utilisé la théorie des valeurs extrêmes pour estimer des modèles de dépassement indépendants sur les 28 cellules. En théorie, le but est d'estimer les paramètres de la loi $X|X>250$ où $X$ représente les pluies agrégées sur 5 jours. En pratique, nous sélectionnons un seuil $u<250$ pour avoir suffisamment de données de dépassement. Le seuil de 100 mm est sélectionné sur l'agglomération de Kingston et appliqué sur les autres cellules. Les  pluies 5 jours n'étant pas indépendantes, les données d'estimation sont choisies suffisamment espacées par la méthode de "clustering" qui prend en compte seulement le pic de de chaque cluster : 
\begin{figure}[htbp]
\centering
  \includegraphics[scale=0.4,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter2/clusters.pdf}
  \caption[Représentation des clusters / événements locaux pour un seuil de 100 mm]{Représentation des clusters / événements locaux pour un seuil de 100 mm} \label{fig: Clusters}
\end{figure} 

\noindent Selon la théorie des valeurs extrêmes, les pics sont modélisables par des lois \textit{Generalized Pareto Distribution} à deux paramètres ($\sigma,\xi$). Sur la cellule de Kingston, le pic moyen d'un événement extrême est de 366 mm pour un modèle à queue épaisse ($\xi>0$) et de 328 mm pour un modèle à queue intermédiaire ($\xi=0$). \\

\noindent Après avoir estimé la loi des indices locaux, nous modélisons leur dépendance \textit{via} la théorie des copules.

\paragraph{Modélisation des extrêmes multivariés} Selon le théorème de Sklar, il est possible d'obtenir la loi du vecteur $(Y_1,\dots,Y_{28})$ à partir des lois marginales des $Y_i$ et d'une fonction de copule $C$ caractérisant la dépendance des $Y_i$. En notant $Y_i$ les dépassements de seuil de la cellule i, on a : 
\begin{equation*}
H(y_1,y_2,\dots,y_n)=C(F_1(y_1),F_2(y_2),\dots,F_n(y_n))
\end{equation*}
où \begin{itemize}
\item H la fonction de répartition de $(Y_1,\dots,Y_{28})$
\item $F_i$ fonction de répartition de $Y_i$. \\
\end{itemize}

\begin{table}[htbp] 
\centering
\footnotesize
%\scriptsize
\begin{tabular}{l|c|c|c}
\textbf{Catastrophe naturelle}&\textbf{Année}&\textbf{Indice national}& \textbf{Quantile}\\
\hline \hline 
Ouragan Michelle & 2001 & 0,43 & 36,23\%\\
Pluies torrentiells de Mai/Juin & 2002   & 10,96 & 86,79\%\\
Ouragan Ivan & 2004  &  4,39 & 73,16\% \\
Ouragan Wilma & 2005  & 10,17 & 85,85\%\\
Pluie torrentielle pré Dean & 2007  & 1,62 & 56,91\% \\
Tempête tropicale Gustav & 2008 &   8,26 & 82,88\% \\
Tempête tropicale Nicole& 2010 & 27,98 & 96,24\%\\
\hline
\hline
\end{tabular}
\caption{Répartition des événements extrêmes dans la distribution de l'indice national simulé}
\label{tab1}
\end{table}

\noindent La dépendance des pluies des 28 zones est modélisée par la copule gaussienne pour des raisons opérationnelles. Nous avons simulé 10 000 fois la loi multivariée des dépassements des pluies agrégées 5 jours pour obtenir la distribution de l'indice national. La répartition des indices historiques des catastrophes naturelles dans la distribution simulée est donnée dans la table \ref{tab1}.

\section*{Tarification du produit XSR}
La prime pure annuelle est définie comme l'espérance des indemnités versées au pays. Nous considérons que le nombre d'événements annuels $N$ est indépendant des paiements versés à la Jamaïque. La prime annuelle s'écrit :
\begin{equation*}
\begin{split}
\textit{Prime nationale}&=\mathbb{E}\left(\sum_{n=1}^{N}\textit{Paiement}_n \right) \\
			  &=\mathbb{E}\left(N\right)*
			  	\mathbb{E}\left[Paiement_{nat}(I_{nat})\right] 
\end{split}
\end{equation*}
Nous fixons les bornes \textit{Attachment} et \textit{Exhaustion} telles que les 29 événements historiques soient couverts. En simulant 10 000 fois l'indice national, la prime pure nationale correspondant à une limite de couverture de 28 millions de dollars sur 1 an est de 8,68 millions de dollars. \\ \\
Afin d'illustrer l'absence de dépendance des extrêmes dans la modélisation de dépassement, nous calculons des primes annuelles locales. Il s'agit de contrats locaux dont les paiements versés sur chaque cellule dépend uniquement de l'indice local. La couverture est proportionnelle à l'exposition de chaque cellule et la somme représente 28 millions de dollars. Le coût des 28 couvertures locales est de 5,12 millions de dollars. 

\section*{Risques et sensibilités du produit XSR} 

\paragraph{Choix du coefficient de queue dans la modélisation des dépassements}
Dans le calcul de la prime pure, nous avons utilisé les modèles de dépassement à queue épaisse ($\xi>0$) pour la majorité des cellules. En calibrant un modèle à queue plus légère ($\xi=0$), la prime nationale est à 6,20 millions de dollars, soit une diminution de 28\%. 

\paragraph{Choix de copule} Nous illustrons les limites de la copule gaussienne \textit{via} la comparaison du comportement des extrêmes des observations et celui du modèle gaussien. La copule de Gumbel est plus adaptée pour modéliser les extrêmes en dimension 2 mais ne représente pas une solution opérationnelle en dimension 28.

\paragraph{Sensibilité par rapport au seuil de sélection} Nous modifions le seuil $u$ qui est de 100 mm pour la ville de Kingston. La prime décroit avec $u$ dans un modèle à queue épaisse. 

\paragraph{Sensibilité par rapport à la fonction de vulnérabilité} Nous calibrons le paramètre C de la fonction de vulnérabilité sur les pertes historiques recensées sur les catastrophes majeures (\ref{tab1}). \\

\begin{figure}[t]
  \centering
   \includegraphics[scale=0.3]{Figures/Chapter3/vul_histo.pdf}
     \rule{35em}{0.5pt}
  \caption{Calibration de la pente sur les données historiques}
  \label{fig: vulnérabilité historiques}
\end{figure}

\noindent Nous calculons à nouveau la prime pure. Cette dernière est insensible au paramètre C. Dans la même idée, il est possible de modifier le paramètre B. La prime varie de 0,04\% lorsque B varie de 800 mm à 10 000 mm. 

\section*{Transfert de risque}

\paragraph{Augmentation de capitaux propres}Le but du CCRIF est de rendre accessible son produit contre les pluies torrentielles. Ce dernier peut réduire les coûts commerciaux de la prime en faisant appel à des bailleurs de fonds. Ce mécanisme appliqué à la couverture des ouragans a permis au CCRIF de diviser la prime réclamée au pays souscripteur par deux. 
%Le but du CCRIF est de rendre accessible son produit contre les pluies torrentielles. Ce dernier peut réduire les coûts commerciaux de la prime en faisant appel à des bailleurs de fonds. Ce mécanisme appliqué à la couverture contre les Ouragans a permis au CCRIF de diviser la prime réclamée au pays par deux. \\ \\
\paragraph{Réassurance} Afin de limiter les fluctuations du bilan financier liées à la sur-sinistralité des catastrophes naturelles, le CCRIF peut céder des risques à un réassureur comme Swiss Re. L'information sur l'indice paramétrique est partagée entre l'assureur et le réassureur ce qui élimine le risque de base. Des tranches de risque sont tarifiées sur base du modèle de l'indice paramétrique. 
\paragraph{Titrisation et Cat-Bonds} 
Pour le CCRIF, la titrisation apparaît comme un excellent moyen de transférer les risques sur les marchés financiers qui ont une capacité d'absorption de perte plus importante que le marché de l'assurance en cas de sinistre. 
%Dans une structure comme le CCRIF, la titrisation peut apparaitre comme un excellent moyen pour transférer les risques sur les marchés financiers qui ont une capacité d’absorption de pertes plus importante en cas de sinistre
\end{document}


